sábado, 28 de mayo de 2016

Compuertas Lógicas

Es un dispositivo electrónico con una función booleana. Suman, multiplican, niegan o afirman, incluyen o excluyen según sus propiedades lógicas. Se pueden aplicar a tecnología electrónica, eléctrica, mecánica, hidráulica y neumática. Son circuitos de conmutación integrados en un chip.experimentaba con relés o interruptores electromagnéticos para conseguir las condiciones de cada compuerta lógica, por ejemplo, para la función booleana Y (AND) colocaba interruptores en circuito serie, ya que con uno solo de éstos que tuviera la condición «abierto», la salida de la compuerta Y sería = 0, mientras que para la implementación de una compuerta O(OR), la conexión de los interruptores tiene una configuración en circuito paralelo.
La tecnología microelectrónica actual permite la elevada integración de transistores actuando como conmutadores en redes lógicas dentro de un pequeño circuito integrado. El chip de la CPU es una de las máximas expresiones de este avance tecnológico. 


Compuerta negadora o NOT

Se trata de un amplificador inversor, es decir, invierte el dato de entrada y lo saca sobre una salida de baja impedancia, que admite la carga de varias compuertas en paralelo, o de un display de baja impedancia; por ejemplo si se pone su entrada a 1 (nivel alto) se obtiene una salida 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada que llamaremos A. Su operación lógica genera una salida S igual a la entrada A invertida.

Compuerta NOT
La tabla de verdad nos indica que la salida S siempre es el estado contrario al de la entrada A. La ecuación matemática binaria indica que la salida S es siempre igual a la entrada negada lo que se representa con la rayita sobre la A.

Compuerta AND ó “Y”

Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto de ambas entradas. El lector no se debe confundir porque las operaciones lógicas pueden no concordar con las aritméticas, aunque en este caso particular coincidan. Su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto.

Compuerta and
El nombre aclara la función. Deben estar altos A y B para que se levante S.
Una aplicación de esta compuerta puede ser un sistema de seguridad para un balancín. Para evitar que las manos del operario estén dentro de la zona de presión, se colocan dos pulsadores que ponen un uno en cada entrada. Los pulsadores están bien separados entre si. Recién cuando el operario los pulse aparece un uno en la salida que opera el relay del motor.

Compuerta OR ó “O”

Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas. Aquí podemos ver que la operación aritmética no coincide con la lógica ya que la ultima condición de la tabla de verdad es 1+1=1 y en la operación aritmética seria 1+1=2. La operación lógica O es inclusiva; es decir que la salida es alta si una sola de las entradas es alta o inclusive si ambas lo son. Es decir, basta que una de las entradas sea 1 para que su salida también lo sea. Deben ser altas A “o” B o ambas al mismo tiempo, para que la salida sea alta.

Compuerta “Or”
Un ejemplo de uso puede ser que se desee que un motor se opere con una pequeña llave desde una oficina, o en forma local desde al lado del motor; pero no se desea que el motor se apague, si se cierran las dos llaves. La salida debe comandar al contactor del motor y las llaves de entrada deben conectar la tensión de fuente a las entradas.

Compuerta OR-EX ó XOR ó “O exclusiva”

En nuestro caso la OR Exclusiva tiene dos entradas (pero puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre “A” por “B”invertida y “A”invertida por “B”. Todo un lío si consideramos su fórmula pero su tabla de verdad es muy sencilla y su descripción también, ya que la salida será alta solo si una de las entradas lo es, pero no lo es, si lo son las dos al mismo tiempo.

Compuerta XOR
Como ejemplo recurrimos al caso anterior pero donde deseamos que si la maquina se opera en forma local no pueda operarse también en forma remota.
Estas serían básicamente las compuertas más sencillas. Pero no son todas las que hay porque existen combinaciones de las compuertas básicas con compuertas negadoras que vamos a ver a continuación.

Compuertas lógicas combinadas

Al agregar una compuerta NOT a la salida de cada una de las compuertas anteriores los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas: NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora sus características y cual es el símbolo que las representa.
La compuerta NAND responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo sobre su salida.

Compuerta NAND
Una compuerta NOR se obtiene conectando una NOT a la salida de una OR. El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica “o inclusiva” es como un “no a y/o b”. Igual que antes, solo se agrega un círculo a la compuerta OR y ya se obtiene el símbolo de una NOR.

Compuerta NOR
La compuerta NOR-EX, es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad en donde la columna S es la negación de la anterior. El símbolo que la representa se obtienen agregando un circulo a la salida de una OR-EX.
Fig.11 Compuerta NOR-EX
Compuerta NOR-EX
Las compuerta “buffer” sería una compuerta negadora detrás de otra negadora lo cual no parece tener sentido ya que la tabla de verdad seria una repetición de la entrada en la salida. Pero sin embargo existen y tienen un uso muy importante aclarado por su nombre que significa expansora o reforzadora. Se usan para alimentar a un conjunto de compuertas conectadas sobre su salida. El buffer en realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar la señal (o refrescarla para decirlo de otra manera ya que no se incrementa su amplitud sino su capacidad de hacer circular corriente. Como puede ver en la figura 12 la señal de salida es la misma que la de entrada.

Compuerta buffer
Hasta aquí llegó la teoría aunque dimos algunos ejemplos prácticos. Ahora nos interesa más saber como se hacen evidentes estos estados lógicos y operaciones para lograr resultados prácticos, y en qué circuitos integrados se las puede encontrar. Pero antes debemos estudiar las distintas familias de compuertas que existen en la actualidad.

viernes, 27 de mayo de 2016

Vídeos

Algebra booleana

Álgebra Booleana


Compuertas Lógicas


Compuertas Lógicas

















Ejercicios de Boole

Factor Común:
Álgebra de Boole y puertas lógicas
Álgebra de Boole y puertas lógicas
Álgebra de Boole y puertas lógicas






Algebra de Boole

El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.

Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
  • Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
  • Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B.
  • Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
  • Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C.
  • Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A.
  • Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:
- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
- El símbolo ·  representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·,  por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.
- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.
- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.
- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.
Utilizaremos además los siguientes postulados:

  • P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT
  • P2 El elemento de identidad con respecto a ·  es uno y con respecto a +  es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT
  • P3 Los operadores ·   y + son conmutativos.
  • P4 ·   y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C).
  • P5 Para cada valor A existe un valor A' tal que A·A' = 0 y A+A' = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.
  • P6 ·   y + son ambos asociativos, ésto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).
Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados, además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
  • Teorema 1: A + A = A
  • Teorema 2: A · A = A
  • Teorema 3: A + 0 = A
  • Teorema 4: A · 1 = A
  • Teorema 5: A · 0 = 0
  • Teorema 6: A + 1 = 1
  • Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
  • Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
  • Teorema 9: A + A · B = A
  • Teorema 10: A · (A + B) = A
  • Teorema 11: A + A'B = A + B
  • Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
  • Teorema 13: AB + AB' = A
  • Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
  • Teorema 15: A + A' = 1
  • Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que los descubrió.
Características:
Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:
1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremos aditiva (que representaremos por x
+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función monaria (de un solo parámetro)  que representaremos por x'.
2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)
Y 3- Tiene las siguientes propiedades:
  • Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x
    Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx
    Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z)
    Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz)
    Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz
    Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z)
    Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x
    Identidad respecto a la segunda función: x1 = x
    Complemento respecto a la primera función: x + x' = 1
    Complemento respecto a la segunda función: xx' = 0
Propiedades Del Álgebra De Boole
  1. Idempotente respecto a la primera función: x + x = x
    Idempotente respecto a la segunda función: xx = x
    Maximalidad del 1: x + 1 = 1
    Minimalidad del 0: x0 = 0
    Involución: x'' = x
    Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x
    Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x
    Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y)' = x'y'
    Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy)' = x' + y'

Función Booleana
Una función booleana es una de A x A x A x....A en A, siendo A un conjunto cuyos elementos son 0 y 1 y tiene estructura de álgebra de Boole.
Supongamos que cuatro amigos deciden ir al cine si lo quiere la mayoría. Cada uno puede votar si o no. Representemos el voto de cada uno por xi. La función devolverá sí (1) cuando el numero de votos afirmativos sea 3 y en caso contrario devolverá 0.
Si x1 vota 1, x2 vota 0, x3 vota 0 y x4 vota 1 la función booleana devolverá 0.
Producto mínimo (es el número posible de casos) es un producto en el que aparecen todas las variables o sus negaciones.

El número posible de casos es 2n. 

Siguiendo con el ejemplo anterior. Asignamos las letras A, B, C y D a los amigos. Los posibles casos son:
Votos         Resultado
ABCD
1111              1
1110              1
1101              1
1100              0
1011              1
1010              0
1001              0
1000              0
0111              1
0110              0
0101              0
0100              0
0011              0
0010              0
0001              0
0000              0

Las funciones booleanas se pueden representar como la suma de productos mínimos (minterms) iguales a 1.

En nuestro ejemplo la función booleana será:
f(A,B,C,D) = ABCD + ABCD' + ABC'D + AB'CD + A'BCD

Diagramas De Karnaugh

Los diagramas de Karnaugh se utilizan para simplificar las funciones booleanas.
Se construye una tabla con las variables y sus valores posibles y se agrupan los 1 adyacentes, siempre que el número de 1 sea potencia de 2. 

En esta página tienes un programa para minimización de funciones booleanas mediante mapas de Karnaugh

Ejercicios de Compuertas Logicas






Presentación

     Me llamo Ruben De Jesus Moreno Segovia, Venezolano con orgullo, cuento con 23 años de edad, estudiante de Ingeniería en Sistema en el I.U.P.S.M. Extensión Maracay. Creo este blog con la finalidad de encontrar de manera mas fácil y resumida toda la información con respecto a los conceptos básicos de electrónica digital(Compuertas lógicas, Álgebra booleana), dejando ejercicios prácticos para que complementen la teoría. Dejas tus comentarios para saber que tal te parece el blog e ir mejorando poco a poco ya que es mi primer blog. 


Twitter: @RubenMS17